МКОУ «Волчихинская СШ №2»
Учитель Бакута Е.П.
9 класс
Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников"
Цели урока:
Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран
Ход урок:
Чтобы спорилось нужное дело,
А девизом нашего урока буду такие слова:
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Какая фигура называется многоугольником?
Какой многоугольник называется правильным?
Какое другое название правильного треугольника?
Какое другое название правильного четырехугольника?
Формула суммы углов выпуклого многоугольника.
Формула угла правильного многоугольника.
4. Изучение нового материала. (слайды)
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.
Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника
Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):
a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника.
Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.
5. Закрепление нового материала.
Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.
6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться
Три – оглянуться Четыре – присест
Пять – руки вверх Шесть – вперед
Семь – опустили Восемь – сели
Девять – встали Десять – снова сели
7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)
Решить № 1093.
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).
п.105-108 повторить;
выучить формулы;
№ 1090, 1091, 1087(3)
Есть у математики молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, геометрия, даёшь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
Примечание Презентация содержит разделы:
Повторение теоретического материала
Проверка домашнего задания
Вывод основных формул, т.е. новый материал
Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно
ДЕВИЗ УРОКА
Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
И открытия нас ждут обязательно!
Повторение.
изображена на рисунке?
D
Е
2.Какой многоугольник называется
правильным?
О
3.Какая окружность называется
вписанной в многоугольник?
F
С
4.Какая окружность называется
описанной около многоугольника?
5.Назовите радиус вписанной окружности.
А
В
Н
6.Назовите радиус описанной окружности.
7.Как найти центр вписанной в правильный
многоугольник окружности?
8.Как найти центр окружности описанной около
правильного многоугольника?
Проверка выполнения
домашнего задания ..
№ 1084.
β – угол, соответствующий
дуге, которую стягивает
сторона многоугольника .
О
А п
А 2
β
Ответы:
а) 6;
б) 12;
А
А 1
в) 4;
г) 8;
г) 10
д) 20;
е) 7.
е) 5.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Сумма углов правильного n -угольника
Угол правильного n - угольника
Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.
Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.
Пусть r – радиус вписанной окружности,
R – радиус описанной окружности,
п – количество сторон и углов многоугольника.
Рассмотрим правильный п-угольник.
Пусть а – сторона п-угольника,
α – угол.
Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.
ОС – высота ∆АОВ.
∟ С = 90 º - (по построению),
Рассмотрим ∆АОС:
∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),
АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),
∟ АОВ = 360 º: п,
пусть ∟АОС = β .
тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ
0,5 ∙ (360 º: п)
2 sin (180 º: п)
2 tg (180 º: п)
Площадь правильного многоугольника
Сторона правильного многоугольника
Радиус вписанной окружности
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а
Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а
Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а
Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а
Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а
Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а
п = 3
п = 4
п = 6
2 tg (180 º: п)
2 sin (180 º: п)
тогда 180 º: п
У правильного треугольника п = 3,
откуда 2 sin 60 º =
тогда 180 º: п
У правильного четырехугольника п = 4,
откуда 2 sin 45 º =
У правильного шестиугольника п = 6,
тогда 180 º: п
откуда 2 sin 30 º =
Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:
2 R ∙ sin (180 º: п)
2 r ∙ tg (180 º: п)
треугольник
шестиугольник
Пп. 105 – 108;
№ 1087;
№ 1088 – подготовить таблицу.
n = 4
R
r
a 4
P
2
6
4
S
28
16
3
3√2
24
32
2√2
4
16
16
16√2
32
4√2
2√2
7
3,5√2
3,5
49
4
2√2
16
2
№ 1087(5)
Дано: S=16 , n =4
Найти: a, r, R, P
Мы знаем формулы:
№ 1088( 5 )
Дано: P=6 , n = 3
Найти: R, a, r, S
Мы знаем формулы:
№ 108 9
Дано:
Найти:
Подведем итог
Мы знаем формулы:
Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник (рис. 302). Напомним, что ее центр О помещается на пересечении биссектрис внутренних углрв треугольника. Отрезки ОА, ОВ, ОС, соединяющие О с вершинами треугольника ABC, разобьют треугольник на три треугольника:
АОВ, ВОС, СОА. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу , и потому их площади выразятся как
Площадь всего треугольника S равна сумме этих трех площадей:
где - полупериметр треугольника. Отсюда
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для получения формулы для радиуса описанной окружности треугольника докажем следующее предложение.
Теорем а: В любом треугольнике сторона равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и описанную вокруг него окружность, радиус которой обозначим через R (рис. 303). Пусть А - острый угол треугольника. Проведем радиусы ОВ, ОС окружности и опустим из ее центра О перпендикуляр ОК на сторону ВС треугольника. Заметим, что угол а треугольника измеряется половиной дуги ВС, для которой угол ВОС является центральным углом. Отсюда видно, что . Поэтому из прямоугольного треугольника СОК находим , или , что и требовалось доказать.
Приведенный рис. 303 и рассуждение относятся к случаю острого угла треугольника; нетрудно было бы провести доказательство и для случаев прямого и тупого угла (читатель это проделает самостоятельно), но можно использовать теорему синусов (218.3). Так как должно быть откуда
Теорему синусов записывают также в. виде
и сравнение с формой записи (218.3) дает для
Радиус описанной окружности равен отношению произведения трех сторон треугольника к его учетверенной площади.
Задача. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его вписанная и описанная окружности имеют соответственно радиусы
Решение. Напишем формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника:
Для равнобедренного треугольника с боковой стороной и основанием площадь выражается формулой
или, сократив дробь на отличный от нуля множитель , будем иметь
что приводит к квадратному уравнению относительно
Оно имеет два решения:
Подставив вместо его выражения в любое из уравнений для или R, найдем окончательно два ответа к нашей задаче:
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делнт гипотенузу в отношении Найти отношение каждого из катетов к гипотенузе.
2. Основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны а и b. Найти радиус окружности.
3. Две окружности касаются внешним образом. Их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30°. Длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см. Найти радиусы окружностей.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат высота и медиана данного треугольника, проведенные из вершины прямого угла, и отрезок гипотенузы между точками их пересечения с гипотенузой.
5. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найти проекцию каждой из них на две остальные.
6. В треугольнике известны сторона и высоты Найти стороны b и с.
7. Известны две стороны треугольника и медиана Найти третью сторону треугольника.
8. Даны две стороны треугольника и угол а между ними: Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Известны стороны треугольника а, b, с. Чему равны отрезки, на которые они разбиваются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника?
Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.
В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.
Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…
Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.
Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.
Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.
Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника
Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.
Как найти радиус вписанной окружности
Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.
Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.
Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.
Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник
Формула 1:
Радиус окружности, которая вписана в ромб
Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.
Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.
Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.
Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.
Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.
Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.
Радиус окружности, которая вписана в треугольник
В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):
П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.
Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).
А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.
Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)
Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.
Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.
А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в
Формула 5: R =А * √3/6.
Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник
Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.
Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.
В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.
С = √(А²+Б²).
Радиус окружности, которая вписана в квадрат
Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.
Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.
Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.
Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.
В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.
Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.
При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).
Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией - тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r - искомый радиус, Р - периметр, а - значение длины одной из сторон, α - величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается - достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
