ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол .

Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164).

Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком, точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС - внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.

Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ.

В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы.

Теорема 2 . Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Пусть в /\ AВС / A = / С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.

Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ > ВС;
2) АВ < ВС;
3) АВ = ВС.

Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС.

Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A.

Следовательно, возможен только третий случай, т. е.

Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Теорема 3 . Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС (черт. 167) / C >/ B

Докажем, что АВ > АС.

Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ = АС;
2) АВ < АС;
3) АВ > АС.

Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то / С был бы равен / В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС

Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.

Следовательно, возможен только один случай, а именно:

Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.

Цели урока:

Образовательные:

• Совершенствовать навыки решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.
• Обобщить и систематизировать теоретический материал:
  – виды треугольников;
  – сумма углов треугольника;
  – соотношения между сторонами и углами треугольника;
  – признак равнобедренного треугольника.

Развивающие:

• Развивать навыки устного счета.
• Развивать логическое мышление обучающихся.
• Формировать умения четко и ясно излагать свои мысли.
• Развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала.

Воспитательные:

• Воспитывать умение работать с имеющейся информацией.
• Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире.
• Воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.

Оборудование и наглядность: Компьютер, проектор, презентация к уроку, цветные мелки.

Оформление доски: на закрытой части доски выполнен чертеж к № 246.

Структура урока.

Вид деятельности.	№ слайдов.	мин.
1. Организационный момент.		1
2. Сообщение темы и целей урока.		2
3. Актуализация опорных знаний.		6
4. Практическая работа.	2–4	8
5. Физкультминутка.		2
6. Закрепление изученного материала: № 241, 239, 246 – в тетради. Письменно.		23
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок.		2
8. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338.		1

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.

Целью сегодняшнего урока является обобщение и систематизация теоретического материала, совершенствование навыков решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.

Сегодня главной фигурой на нашем уроке будет – Треугольник.

III. Актуализация опорных знаний.

Фронтальная работа.

1. Что такое треугольник?
2. Какие бывают треугольники?
3. Какой треугольник называется остроугольным?
4. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны?
5. Какой треугольник называется тупоугольным?
6. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
7. Какой угол называется внешним углом треугольника? Чему равен внешний угол треугольника?
8. Какой треугольник называется равнобедренным? Перечислите его свойства.
9. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.
10. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
11. Какие следствия вытекают из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника?

IV. Практическая работа. Устная работа на готовых чертежах. <Презентация> .

В треугольнике АВС найдем меньший угол.

Меньшая сторона АС, значит меньший угол В.

В треугольнике NRQ найдем меньшую сторону.

1) Меньший угол Q, т.к. 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0

2) Меньшая сторона NR.

V. Физкультминутка.

VI. Закрепление учебного материала

Решение задачи № 241.

Учащиеся записывают в тетрадях число, тему урока. Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 241.

Решение: ∆АВС – равнобедренный, значит <В = <С. MN||BC, откуда

Получили, что

Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 239.

Решение: 1. Рассмотрим ∆BMH – прямоугольный, т.к. BH – высота. По следствию 1 BM>BH.

2. BM=BH в случае если ∆АВС является равнобедренным (АВ = ВС) или равносторонним.

Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 246 (чертеж начерчен на доске).

Решение: Так как ВО – биссектриса, то

OE||AB, следовательно,

OD||AC, следовательно,

P∆EDO = OE + ED + DO, но OE = BE, OD = DC, тогда P∆EDO = BE + ED + DC = BC.

VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VIII. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338.

Литература.

1. Геометрия: Учеб. для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 384 с.: ил. – ISBN 978-5-09-021136-9.
2. Геометрия: Дидакт. материалы для 7 кл. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер . – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 127 с.: ил. – ISBN 978-5-09-019062-6.

Теорема: В треугольнике

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 - внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Отрезок АК - медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a.

Теорема: В треугольнике

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 - внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. №50. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Отрезок АК - медиана треугольника АВС с прямым углом С. Докажите, что ∠ВАК<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
4. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен a.

Видеоурок «Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника» представляет данную теорему, а также следствия из нее. Знание теоремы и ее следствий необходимо для решения практических задач по геометрии, в которых для нахождения параметров треугольника используются различные соотношения его сторон и углов. Задача видеоурока - облегчить понимание материала, способствовать запоминанию теоремы и следствий из нее.

В видеоуроке использованы анимационные эффекты, которые помогают выделить важные детали геометрических фигур при усвоении материала. Также используется выделение цветом для выделения утверждения теоремы и ее следствий. Голосовое сопровождение объяснение полностью заменяет учителя при стандартной подаче ученикам нового материала.

В начале видеоурока после представления темы на экран выводится текст теоремы, которая утверждает о том, что против большей стороны в произвольном треугольнике располагается больший угол, н напротив большего угла всегда расположена большая сторона. Данное утверждение демонстрируется на треугольнике ΔАВС, который отображается на рисунке ниже текста теоремы. Доказательство теоремы объясняется устно диктором.

Для доказательства утверждения предполагается рассмотреть стороны AB, AC и углы, расположенные напротив них - ∠C и ∠B. Предполагается, что для сторон AB>AC напротив лежащие углы будут ∠C>∠B. На стороне AB откладывается отрезок AD, равный по величине отрезку AC. Так как сторона AC меньше стороны AB, то конец отрезка точка D лежит между вершинами треугольника A и B. Из этого следует, что образовавший при построении угол ∠1 меньше угла ∠C, а угол ∠2 как внешний к углу ∠BDC равняется сумме углов ∠DBC и ∠DCB. Это означает, что ∠2 больше угла ∠DBC=∠B. Соответственно, и угол ∠C больше угла ∠B.

Доказательство обратного утверждения сводится к рассмотрению соотношения сторон AB, AC, если угол ∠C больше угла ∠B. Выполняется доказательство от противного. Для этого предполагается, что при ∠C>∠B сторона AB равна или меньше стороны AC. Однако с учетов равенства сторон AB=AC, зная свойства равнобедренного треугольника, можно утверждать, что в этом случае углы ∠C=∠B также будут равны. Если же ABAC.

Далее в видеоуроке рассматриваются следствия данной теоремы. Утверждается, что исходя из данной теоремы гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Действительно, так как гипотенуза лежит напротив прямого угла, то катеты располагаются напротив острых углов. Так как острые углы всегда меньше прямого, то и противолежащие стороны-катеты всегда меньше гипотенузы.

Второе следствие теоремы - признак равнобедренного треугольника. Данное следствие утверждает, что равенство двух углов треугольника означает, что он равнобедренный. На примере треугольника ΔABC рассматриваются два угла ∠C и ∠B, и противолежащие им стороны AB и AC. Предполагается, что равенству углов ∠C=∠B соответствует равенство сторон AB=AC. Действительно, если бы стороны не были равны, то по теореме напротив большей стороны лежал бы больший угол, а напротив меньшей стороны лежал бы меньший угол. Таким образом, предположение о неравенстве сторон неверно. Данный треугольник является равнобедренным. Следствие доказано.