Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d
Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.
Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .
Решение.
В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.
Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Сравните дроби 54/19 и 54/31 .
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .
В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.
Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.
В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:
Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8
И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.
Применяем третье правило:
Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:
Как сравнить дроби, не приводя их к общему знаменателю?
При сравнении дробей сначала надо определить, являются ли дроби правильными или неправильными, у неправильной дроби числитель больше знаменателя, у правильной знаменатель больше числителя. Неправильная дробь больше правильной. Если обе дроби правильные, то надо сравнить количество знаков в знаменателях. Дробь у которой количество знаков в знаменателе меньше будет больше. При одинаковых количествах знаков в числителях и в знаменателях надо начать деление числителей на знаменатели до выявления первой большей цифры.
Например, у нас есть 5/10 и 2/3 - как сравнить эти два числа, не приводя дроби к общему знаменателю? Достаточно взять в руки калькулятор (либо смартфон) и выполнить действие, то есть поделить дроби. В итоге получаться числа 0,5 и 0,67, а значит дробь 2/3 больше, чем 5/10.
Во-первых нужно обратить внимание на саму дробь - неправильная будет в любом случае больше правильной. Неправильная - это та, которая имеет больший числитель, нежели знаменатель.
Ну и следующий вариант - это просто напросто произвести процесс деления и увидеть наглядно, какая больше.
Я в таких случаях всегда стараюсь в уме как-то сократить дроби и посмотреть на отношение числителя к знаменателю. Вот пример: есть дробь 7/14 и 3/4. Сократив первую дробь (можно и не сокращать, в принципе) получим 1/2 или половину , ну а 3/4 - явно больше половины (75%). Следовательно, вторая дробь будет больше. Все это считается в уме и автоматически, естественно.
Ну во первых посмотрите на знаменатель. Если у одной дроби он меньше, наверное это самая меньшая дробь. Потом уже смотрите на числитель. Я например смотрю и прикидываю. Иногда помогает. Может поможет и вам...
Есть парочка дробей, нужно сравнить без приведения к знаменателю общему. Тут можно опробовать несколько фокусов умозрительных.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?
Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.