Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .В общем виде матрицу размером m ×n записывают так
.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной
матрицей. Например, или .Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной
матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид 
.ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Равенство матриц
. Две матрицы A
и B
называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a
ij
= b
ij
. Так если 
и 
, то A=B
, если a
11
= b
11
, a
12
= b
12
, a
21
= b
21
и a
22
= b
22
.Транспонирование
. Рассмотрим произвольную матрицу A
из m
строк и n
столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B
из n
строк и m
столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A
с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A
с тем же номером). Итак, если 
, то 
.Эту матрицу B
называют транспонированной
матрицей A
, а переход от A
к B транспонированием
.Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A
, обычно обозначают A
T
.Связь между матрицей A
и её транспонированной можно записать в виде .Например.
Найти матрицу транспонированную данной. 
Сложение матриц.
Пусть матрицы A
и B
состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры
. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A
и B
нужно к элементам матрицы A
прибавить элементы матрицы B
, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A
и B
называется матрица C
, которая определяется по правилу, например,
Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A
и ассоциативному (A+B
)+C
=A
+(B+C
).Умножение матрицы на число.
Для того чтобы умножить матрицу A
на число k
нужно каждый элемент матрицы A
умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A
на число k
есть новая матрица, которая определяется по правилу 
или .Для любых чисел a
и b
и матриц A
и B
выполняются равенства: 
Примеры.
. 
Матрицу C
найти нельзя, т.к. матрицы A
и B
имеют разные размеры.Умножение матриц.
Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением
матрицы A
не матрицу B
называется новая матрица C=AB
, элементы которой составляются следующим образом: Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij ) размера m ×n на матрицу B = (b ij ) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,
.
Найти элементы c
12
, c
23
и c
21
матрицы C
. 
. 
Найти АВ
и ВА
. 
Найти АВ
и ВА
. , B·A
– не имеет смысла.Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B
≠
B∙A
. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC)
и (A+B)C=AC+BC
.Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A
на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A
, причём AE=EA=A
.Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.Например
, если 
, то 
.
.Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.Примеры.
Вычислить определители второго порядка. 
Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a
11
, a
12
, a
13
и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.Примеры.
Вычислить определитель третьего порядка. 
. (x
+3)(4x
-4-3x
)+4(3x
-4x
+4)=0. (x
+3)(x
-4)+4(-x
+4)=0. (x
-4)(x
-1)=0. x
1
= 4, x
2
= 1.Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
Доказательство
проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа: 
Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. 
Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A
| = –|A
| или |A
| = 0. 
Доказательство
проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)
.
. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя. 
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
Пусть имеем определитель третьего порядка: 
.Минором
, соответствующим данному элементу a
ij
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i
-ой строки и j
-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a
ij
будем обозначать M
ij
.Например
, минором M
12
, соответствующим элементу a
12
, будет определитель 
, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a
12
, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:.Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:
Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.
|
|
т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a
21
, a
22
, a
23
. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.Примеры.
. Но с другой стороны 
. Полученное противоречие и доказывает, что |A
| ≠ 0. 
Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица 
, где A
ij
алгебраическое дополнение элемента a
ij
. Найдём AB=C
. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C
будут равны 1. Действительно, например, Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c
22
= c
33
= 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C
равны нулю. Например, 
Следовательно, AB=E
. Аналогично можно показать, что BA=E
. Поэтому B = A
-1
.Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом
,
где A
ij
- алгебраические дополнения элементов a
ij
данной матрицы A
.Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица 
.Примеры.
|A
| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A
. 
Проверка: 
. Аналогично A∙A
-1
= E
. 
. Вычислим |A
| = 4. Тогда 
. 
. 
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .Рассмотрим способы нахождения решений системы.МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы 
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.Здесь матрицы A
и B
известны, а матрица X
неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением
.Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A
| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A
-1
, обратную матрице A
: . Поскольку A
-1
A = E
и E
∙X = X
, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A
-1
B
.Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных
. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A
не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A
-1
B
.Примеры.
Решить системы уравнений. 
Найдем матрицу обратную матрице A
. , 
Таким образом, x
= 3, y
= – 1. 
Итак, х
1 =4,х
2 =3,х
3 =5. 
Выразим искомую матрицу X
из заданного уравнения. 
Найдем матрицу А
-1 . 
Проверка: 
Из уравнения получаем 
. 
Следовательно,
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .Следовательно, .Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.Примеры.
Решить систему уравнений 
Итак, х
=1, у
=2, z
=3. 
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. 
. Поэтому . МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Системы линейных уравнений
Система уравнений следующего вида:
где а ij , b i – числовые коэффициенты, x i – переменные, называется системой линейных уравнений.
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.
Система линейных уравнений называется:
совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
несовместной, если она не имеет решений;
определенной, если она имеет единственное решение;
однородной, если все b i = 0;
неоднородной, если все b i ≠ 0.
Правило Крамера
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
= det A 0;
Теорема. (Правило Крамера):
Система из n уравнений с n неизвестными
В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
х i
=
;
где - главный определитель , составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а i – вспомогательный определитель , получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b i .
i
=
Пример. Решить систему, используя правило Крамера.
;
1 =
;
2 =
;
3 =
;
x 1
=
; x 2
=
; x 3
=
;
Пример. Найти решение системы уравнений:
=
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
Если система однородна, т.е. b i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = x n = 0.
Матричный метод
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Введем обозначения:
A =
- матрица коэффициентов системы;
B = матрица – столбец свободных членов;
X = - матрица – столбец неизвестных.
Систему уравнений можно записать в матричной форме:
Сделаем следующее преобразование: A -1 AX = A -1 B,
т.к. А -1 А = Е, то ЕХ = А -1 В, получим
Х = А -1 В - решение матричного уравнения
Пример.
Решить систему матричным методом
Решение.Обозначим:
, 
, 
.
Получаем матричное уравнение
.
Его решение
,
т.е.
(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).
Метод Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.
Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.
Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.
Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:
А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,
Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.
Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:
,
откуда получаем: x 3
= 2; x 2
= 5; x 1
= 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
И третий столбец матрицы, находим вспомогательные определители : Находим коэффициенты полинома: Таким образом... произведение: Найдем произведение: Найдем главный определитель : Находим вспомогательные определители и, подставляя матрицу поочередно в...
Пример: вычислить определитель второго порядка 1) 2) 2. Вычислить определитель третьего порядка Определителем третьего порядка называется... из коэффициентов при неизвестных Составим вспомогательные определители системы следующим образом: … Тогда...
Восполнителями, вспомогательные глаголы, аспектные и фазисные глаголы, наречия-интенсификаторы, указательные определители ; гетерогенными... путем сочетания «вещественного» слова с «вспомогательно -грамматическим» словом. Соответственно этому и...
Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:
Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число
Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число
Пример1: Найти определители матриц и
Система линейных алгебраических уравнений
Пусть дана система 3х линейных уравнений с 3мя неизвестными
Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме
где А - матрица коэффициентов
В - расширенная матрица
Х - искомый компонентный вектор;
Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:
Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера. Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2 - корни системы уравнений,
Главный определитель системы, x1, х2 - вспомогательные определители.
Вспомогательные определители:
Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2, x3 - корни системы уравнений,
Главный определитель системы,
x1, x2, x3 - вспомогательные определители.
Главный определитель системы определяется:
Вспомогательные определители:
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
** 
,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .
Пусть дана система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
-
определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:
Пример 2.
.
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы - (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо.
Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
,
.
