Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того,

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению).

Векторное произведение обладает распределительным свойством , то есть

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Пусть даны два вектора

(как найти координаты вектора по координатам его начала и конца - см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Зачем нужно векторное произведение?

Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они.

Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма.

Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.

Он-лайн калькулятор векторного произведения.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a , b и с , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с , который:

1. Перпендикулярен векторам a и b , т. е. с ^ а и с ^ b ;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3. Векторы a , b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а ,b ]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k , j х k = i , k х i = j .
Докажем, например, что i хj =k .

1) k ^ i , k ^ j ;

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а хb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a xb = -(b xa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l (а хb ) = (l а ) х b = а х (l b ).

Пусть l >0. Вектор l (а хb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l (а хb ) и ( l а )хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а ||b <=>а хb =0 .

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает - третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =а х i +a y j +a z k и b =b x i +b y j +b z k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а | * |b |sin g , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, D S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О - некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ , где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Определение. Векторным произведением вектора а (множимое) на не коллинеарный ему вектор (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма на рис. 155), построенного на векторах т. е. он равен направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма;

3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы с составляли правую систему (§ 110).

Обозначение: или

Дополнение к определению. Если векторы коллинеарны, то фигуре считая ее (условно) параллелограммом, естественно приписать нулевую площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору.

Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление, это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.

Замечание 1. В термине «векторное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор (в противоположность скалярному произведению; ср. § 104, замечание 1).

Пример 1. Найти векторное произведение где основные векторы правой системы координат (рис. 156).

1. Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма (квадрата) численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.

2. Так как перпендикуляр к плоскости есть ось то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору к; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.

3. Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы к образуют правую систему (а векторы левую).

Пример 2. Найти векторное произведение

Решение. Как в примере 1, заключаем, что вектор равен либо k, либо -k. Но теперь надо выбрать -k, так как векторы образуют правую систему (а векторы левую). Итак,

Пример 3. Векторы имеют длины, соответственно равные 80 и 50 см, и образуют угол 30°. Приняв за единицу длины метр, найти длину векторного произведения а

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна Длина искомого векторного произведения равна

Пример 4. Найти длину векторного произведения тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.

Решение. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах равна то длина векторного произведения равна 2000 см, т. е.

Из сравнения примеров 3 и 4 видно, что длина вектора зависит не только от длин сомножителей но также и от выбора единицы длины.

Физический смысл векторного произведения. Из многочисленных физических величин, изображаемых векторным произведением, рассмотрим только момент силы.

Пусть А есть точка приложения силы Моментом силы относителько точки О называется векторное произведение Так как модуль этого векторного произведения численно равен площади параллелограмма (рис. 157), то модуль момента равняется произведению основания на высоту т. е. силе, умноженной на расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила.

В механике доказывается, что для равновесия твердого тела необходимо, чтобы равнялась нулю не только сумма векторов , представляющих силы, приложенные к телу, но также и сумма моментов сил. В том случае, когда все силы параллельны одной плоскости, сложение векторов, представляющих моменты, можно заменить сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное произведение определяется именно как вектор, а не как число.

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a → ​​​​ и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k →

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ - произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Ответ: 15 2 2 .

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ответ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i → - j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → - j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i → - j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Следовательно, векторное произведение i → - j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; - 1 ; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Ответ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.

Решение

Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → ​​​​​ и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Ответ: - 6 i → + j → - 4 k → . - один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Из антикоммутативности векторного произведения следует - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = - 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Ответ: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма - удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов, определение, свойства

Линейные операции над векторами.

Векторы, основные понятия, определения, линейные операции над ними

Вектором на плоскости называется упорядоченная пара ее точек, при этом первая точка называется началом, а вторая концом – вектора

Два вектора называются равными если они равны и сонаправлены.

Векторы, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными если они сонаправленны с некоторым одним и тем же вектором, не лежащим на этой прямой.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными, а коллинеарные но не сонаправленные – противоположно-направленные.

Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными.

Определение 5.4 . Суммой a + b векторовa и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b , если начало вектора b совпадает с концом вектора а .

Определение 5.5 . Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .

Определение 5.6. Произведением ka вектора а на число k называется вектор b , коллинеарный векторуа , имеющий модуль, равный |k ||a |, и направление, совпадающее с направлением а при k >0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b ) = ka + kb .

Свойство 2. (k + m) a = ka + ma .

Свойство 3. k(ma ) = (km) a .

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k , что b = ka .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab , a · b , (a , b ), (a · b ). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = |a | · |b | · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

· Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

· Свойство распределения: a · (b · c ) = (a · b ) · c (результат не зависит от порядка умножения);

· Свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю): (λ a ) · b = λ (a · b ).

· Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярные друг к другу)a ┴ b ;

· Свойство квадрата: a · a = a 2 = |a | 2 (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

· Если координаты векторов a ={x 1 , y 1 , z 1 } и b ={x 2 , y 2 , z 2 }, то скалярное произведение равно a · b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Векторное проведение векторов. Определение : Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

Если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения :

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2 .Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3 .Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4 .Для любых трех векторов справедливо равенство

5 .Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :