На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:
Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:
Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.
Итак, вынесем общий множитель за скобки:
;
Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.
Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:
Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:
Вынесем общие множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение подробно:
Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:
Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
Формула квадрата суммы(разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:
Распишем выражение:
Итак, первое выражение это , а второе .
Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:
Свернем полный квадрат суммы:
Преобразуем полученное выражение:
Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:
Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 - разложить на множители:
Найдем выражения, которые стоят в квадрате:
Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:
Прибавим и отнимем удвоенное произведение:
Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::
Распишем по формуле разности квадратов:
Пример 2 - решить уравнение:
;
В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :
У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:
Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:
Применим формулу разности квадратов:
Итак, имеем уравнение
Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Ответ: или
;
Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.
Определение
Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c - произвольные числа, причём a ≠ 0 .
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 , поэтому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена» .
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .
Заметим, что 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаем: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .
Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:
3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .
Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 2 + 8 x + 6 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x - 3) получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :
Пример 1
Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.
Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).
Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя .
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Начинаем подбирать числитель.
Алгоритм подбора числителя примерно такой:
1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .
2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :
3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?
4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :
5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :
Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.
Таким образом:
Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.
Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.
Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).
На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:
Пример 5
Пример 6
Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .
Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:
Пример 7
Пример 8
Найти неопределенный интеграл:
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата , который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков .
На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:
Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).
Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:
Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:
Теперь можно применить формулу :
После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.
Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь
Пример 10
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Пример 11
Найти неопределенный интеграл:
Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!
Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:
Тут получилась формула , применяем:
ВСЕГДА
выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Усложняем задачу
Пример 12
Найти неопределенный интеграл:
Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».
(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.
(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»
(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.
(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.
(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.
(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.
Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?