>>Математика: Сложение чисел с разными знаками
33. Сложение чисел с разными знаками
Если температура воздуха была равна 9 °С, а потом она изменилась на - 6 °С (т. е. понизилась на 6 °С), то она стала равной 9 + (- 6) градусам (рис. 83).
Чтобы сложить числа 9 и - 6 с помощью , надо точку А (9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В (3).
Значит, 9+(- 6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.
Действительно, |3| =3 и |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.
Если та же температура воздуха 9 °С изменилась на -12 °С (т. е. понизилась на 12 °С), то она стала равной 9 +(-12) градусам (рис. 85). Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12)= -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.
Действительно, | - 3| = 3 и | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший;
2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.
Например:
1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
или короче 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;
При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор . Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» |/-/|. Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами.
Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по Программе
? Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число?
если меньший модуль имеет отрицательное число?
если больший модуль имеет положительное число?
если меньший модуль имеет положительное число?
Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками. Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?
К 1045. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?
1046. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?
1047. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?
1048. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?
1049. В первую половину дня температура изменилась на - 4 °С, а во вторую - на + 12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?
1050. Выполните сложение:
1051. Прибавьте:
а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.
1052. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения - 6 + х =-13,1?
1053. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:
а) х + (-3)= -11; в) m + (-12) = 2;
б) - 5 + y=15; г) 3 + n = -10.
1054. Найдите значение выражения:
1055. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:
а) - 3,2579 + (-12,308); г) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
б) 7,8547+ (- 9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) -0,00154 + 0,0837; е) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).
П 1056. Найдите значение суммы:
1057. Найдите значение выражения:
1058. Сколько целых чисел расположено между числами:
а) 0 и 24; б) -12 и -3; в) -20 и 7?
1059. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:
а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью
.
1060. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:
а) 0 и а; б) -а и а; в) -а и 0; г) а и -За?
М 1061. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?
1062. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:
а) на 0,8 га больше другого;
б) на 0,2 га меньше другого;
в) в 3 раза больше другого;
г) в 1,5 раза меньше другого;
д) составляет другого;
е) составляет 0,2 другого;
ж) составляет 60% другого;
з) составляет 140% другого».
1063. Решите задачу:
1) В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвертый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?
2) Заработок отца в месяц равен 280 р. Стипендия дочери в 4 раза меньше. Сколько зарабатывает в месяц мать, если в семье 4 человека, младший сын - школьник и на каждого приходится в среднем 135 р.?
1064. Выполните действия:
1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);
2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).
1066. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых кдое из чисел:
1067. Найдите значение а + b, если:
а) а= -1,6, b = 3,2; б) а=- 2,6, b = 1,9; в)
1068. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. 2 квартиры имели жилую площадь по 22,8 м 2 , 3 квартиры - по 16,2 м 2 , 2 квартиры - по 34 м 2 . Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?
1069.В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?
1070. Найдите значение выражения
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Планирование по математике, учебники и книги онлайн , курсы и задачи по математике для 6 класса скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиНа этом уроке мы узнаем, что такое отрицательное число и какие числа называются противоположными. Также научимся складывать отрицательные и положительные числа (числа с разными знаками) и разберём несколько примеров сложения чисел с разными знаками.
Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).
Рис. 1. Шестеренка часов
Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.
Рис. 2. Шестеренка внутри часов
А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.
Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .
Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект и так и считать: прибавить - значит вычесть . Тогда .
Число может означать, например, яблока. Новое число не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.
Назовем новые числа отрицательными . Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .
Рассмотрим ещё один пример: 
. Можно сделать все действия подряд: .
Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:
Отрицательные числа можно определить и по-другому.
Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа и равна : .
Число будем называть отрицательным, а числа и - противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:
Противоположное для числа ;
Противоположное числу ;
Противоположное числу ; 
Противоположное числу ;
Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение можно обозначить как .
У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).
Рис. 3. Примеры противоположных чисел
Свойства противоположных чисел
1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .
2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .
1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .
2. Оба числа могут быть отрицательными.
Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .
Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа и и ставим знак минус.
3. Одно число может быть положительным, а другое - отрицательным.
Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .
Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.
Слагаемые можем менять местами: .
Ещё один аналогичный пример: .
Во всех случаях в итоге получается вычитание.
Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа . Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного - противоположному, положительному. Например: , .
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:
Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:
Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус:
Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):
Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .
Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .
У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.
Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:
Потом мы ввели другие положительные числа - дроби, для счета нецелых количеств, частей: .
Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.
То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?
Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).
Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи
Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.
При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок, торта).
Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за веком).
Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)
Домашнее задание
План урока:
Проверка индивидуального домашнего задания.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная
организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая
организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная
организационная форма работы, самопроверка).
III. Сообщение темы урока
Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.
1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику
(групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам
(индивидуальная организационная форма работы).
VI. Физпауза
IX. Домашнее задание.
Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.
Задачи:
Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Начнём урок с проверки
индивидуального домашнего задания. Девизом
нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского.
Дома вам нужно было подумать над его словами. Как
вы его понимаете? («Считай несчастным тот день
или тот час, в который ты не усвоил ничего нового
и ничего не прибавил к своему образованию»)
–
Как вы понимаете слова автора? (Если мы
не узнаём ничего нового, не получаем новые
знания, то этот день можно считать пропавшим или
несчастным. Надо стремиться к получению новых
знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому,
что мы опять будем узнавать что-то новое.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
– Для того чтобы изучать новый материал, надо
повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас
вы покажете свои знания, поработав с
контрольными вопросами.
(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)
Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)
| Как называются числа расположенные справа от начала координат? | Положительные |
| Какие числа называют противоположными? | Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными |
| Что называют модулем числа? | Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа |
| Как обозначают модуль числа? | Прямыми скобками |
| Сформулируй правило сложения отрицательных чисел? | Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус |
| Как называются числа расположенные слева от начала координат? | Отрицательные |
| Какое число противоположно нулю? | 0 |
| Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом? | Нет. Расстояние не бывает отрицательным |
| Назови правило сравнения отрицательных чисел | Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше |
| Чему равна сумма противоположных чисел? | 0 |
Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Оценка | |
| К/вопросы | ||||||
| Сам/работа | ||||||
| Инд/ работа | ||||||
| Итог |
– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных
вопросов? (Знать правила)
2. Устная работа с комментированием
– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)
– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?
3. Самостоятельная работа
| – 86, 52 + (– 6, 3) = | – 92,82 |
| – 49/91 + (– 27/91) = | – 76/91 |
| – 76 + (– 99) = | – 175 |
| – 14 + (– 47) = | – 61 |
| – 123,5 + (– 25, 18) = | – 148,68 |
| 6 + (– 10) = |
(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)
– Почему последний пример вызвал у вас
затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких
чисел мы знаем, как находить?
III. Сообщение темы урока
– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.
IV. Изучение нового материала
– Откроем тетради, запишем дату, классная
работа, тему урока «Сложение чисел с разными
знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная
прямая)
– Докажите, что это координатная прямая? (Есть
начало отсчёта, направление отсчёта, единичный
отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться
складывать числа с разными знаками с помощью
координатной прямой.
(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)
– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо
прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону
от начала координат, т.к. число 6 – положительное
(ставим цветной магнитик на получившееся число 6).
К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую
сторону от начала координат, т. к. (– 10) число
отрицательное (ставим цветной магнитик на
получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли
число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим
модулем.
– Запишем пример в тетрадь:
6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)
Принята запись:
6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7
– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками
– Правило очень важное! Оно позволяет сложить
числа разных знаков без помощи координатной
прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок
вычислять задания с положительными и
отрицательными числами, надо знать правила.
V. Закрепление изученного материала
– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на
координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример
решить трудно, поэтому будем использовать при
решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной
темы с дополнительной карточкой.)
VI. Физпауза (Выполняют стоя)
– Человек обладает положительными и
отрицательными качествами. Распределите эти
качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала
отсчёта, отрицательные – слева от начала
отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один
раз, положительное – два раза. Будьте
внимательны!
– Доброта
, злость, жадность, взаимовыручка
,
взаимопонимание
, грубость, и, конечно же, сила
воли
и стремление к победе
, которые
вам сейчас потребуются, так как впереди у вас
самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей
взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
| 100 + (– 28) = | 100 + (– 39) = |
| 56 + (– 27) = | 73 + (– 24) = |
| – 4,61 + (– 2,22) = | – 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 68 = | – 43 + 39 = |
VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия
– Я считаю, что вы поработали активно,
старательно, участвовали в открытии новых
знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу
оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать
готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились
складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными
знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский
был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот
день или тот час, в который ты не усвоил ничего
нового и ничего не прибавил к своему
образованию».
IX. Домашнее задание
Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова
Роджера Бэкона: «Человек, не знающий
математику, не способен ни к каким другим наукам.
Более того, он даже не способен оценить уровень
своего невежества?
«Сложение чисел с разными знаками» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)
Краткое описание:
В этом разделе Вы выучите правила сложения чисел с разными знаками: то есть научитесь складывать отрицательные и положительные числа.
Вы уже умеете их складывать на координатной прямой, но ведь в каждом примере не будете рисовать прямую и по ней считать? Поэтому нужно научиться складывать без нее.
Давайте попробуем с Вами к положительному числу добавить отрицательное, например восемь добавить минус шесть: 8+(-6). Вы уже знаете, что добавление отрицательного числа ведет к уменьшению первоначального на значение отрицательного. Это означает, что восемь необходимо уменьшить на шесть, то есть от восьми отнять шесть: 8-6=2, получается два. В этом примере вроде все понятно, от восьми отнимаем шесть.
А если взять такой пример: к отрицательному числу добавить положительное. Например, минус восемь добавить шесть: -8+6. Суть остается та же: положительное число уменьшаем на значение отрицательного, получаем шесть отнять восемь будет минус два: -8+6=-2.
Как Вы заметили, и в первом и во втором примере с числами выполняется действие вычитание. Почему? Потому что они имеют разные знаки (плюс и минус). Чтобы не делать ошибок при сложении чисел с разными знаками следует выполнять такой алгоритм действий:
1. найдите модули чисел;
2. от большего модуля отнимите меньший модуль;
3. перед полученным результатом поставьте знак числа с большим модулем (обычно ставится только знак минус, а знак плюс не ставится).
Если вы будете складывать числа с разными знаками, следуя этому алгоритму, то шансов ошибиться у Вас будет намного меньше.
Задача 1. Игрок записывал выигрыш знаком + и проигрыш знаком –. Найти результат каждой из следующих записей: a) +7 руб. +4 руб.; b) –3 руб. –6 руб.; c) –4 р. +4 р.; d) +8 р. –6 р.; e) –11 р. +7 р.; f) +2 р. +3 р. –5 р.; g) +6 р. –4 р. +3 р. –5 р. +2 р. –6 р.
Запись a) указывает, что игрок сначала выиграл 7 руб. и затем еще выиграл 4 р., – итого выиграл 11 р.; запись c) указывает, что сначала игрок проиграл 4 р. и затем выиграл 4 р., – потому общий результат = 0 (игрок ничего не сделал); запись e) указывает, что игрок сначала проиграл 11 руб., потом выиграл 7 руб., – проигрыш пересиливает выигрыш на 4 руб.; следовательно, в общем, игрок проиграл 4 руб. Итак, имеем право для этих записей записать, что
a) +7 р. +4 р. = +11 р.; c) –4 р. +4 р. = 0; e) –11 р. + 7 р. = –4 руб.
Так же легко разбираются и остальные записи.
По своему смыслу эти задачи сходны с теми, которые в арифметике решаются с помощью действия сложения, поэтому и здесь мы станем считать, что везде приходится для нахождения общего результата игры складывать относительные числа, выражающие результаты отдельных игр, например, в примере c) относительное число –11 руб. складывается с относительным числом +7 руб.
Задача 2. Кассир записывал приход кассы знаком +, а расход знаком –. Найти общий результат каждой из следующих записей: a) +16 р. +24 р.; b) –17 р. –48 р.; c) +26 р. –26 р.; d) –24 р. +56 р.; e) –24 р. +6 р.; f) –3 р. +25 р. –20 р. +35 р.; g) +17 р. –11 р. +14 р. –9 р. –18 р. +7 р.; h) –9 р –7 р. +15 р. –11 р. +4 р.
Разберем, напр., запись f): сосчитаем сперва весь приход кассы: по этой записи было 25 руб. приходу, да еще 35 руб. приходи, итого приходу было 60 руб., а расходу было 3 руб., да еще 20 руб., итого было 23 руб. расходу; приход превышает расход на 37 руб. След.,
– 3 руб. + 25 руб. – 20 руб. + 35 руб. = +37 руб.
Задача 3. Точка колеблется по прямой, начиная от точки A (черт. 2).
Черт. 2.
Перемещение ее вправо обозначаем знаком + и перемещение ее влево знаком –. Где будет находиться точка после нескольких колебаний, записанных одною из следующих записей: a) +2 дм. –3 дм. +4 дм.; b) –1 дм. +2 дм. +3 дм. +4 дм. –5 дм. +3 дм.; c) +10 дм. –1 дм. +8 дм. –2 дм. +6 дм. –3 дм. +4 дм. –5 дм.; d) –4 дм. +1 дм. –6 дм. +3 дм. –8 дм. +5 дм.; e) +5 дм. –6 дм. +8 дм. –11 дм. На чертеже дюймы обозначены отрезками, меньшими настоящих.
Последнюю запись (e) разберем: сначала колеблющаяся точка передвинулась вправо от A на 5 дм., потом передвинулась влево на 6 дм., – в общем, она должна оказаться находящеюся влево от A на 1 дм., потом подвинулась вправо на 8 дюйм., след., теперь она находится вправо от A на 7 дм., а затем подвинулась влево на 11 дм., следовательно, она находится влево от A на 4 дм.
Остальные примеры предоставляем разобрать самим учащимся.
Мы приняли, что во всех разобранных записях приходится складывать записанные относительные числа. Поэтому условимся:
Если несколько относительных чисел написаны рядом (с их знаками), то эти числа надо сложить.
Разберем теперь главные случаи, встречающиеся при сложении, причем возьмем относительные числа без названий (т. е. вместо того, чтобы говорить, напр., 5 руб. выигрышу, да еще 3 руб. проигрышу, или точка переместилась на 5 дм. вправо от A, да потом еще на 3 дм. Влево, станем говорить 5 положительных единиц, да еще 3 отрицательных единиц …).
Здесь надо сложить числа, состоящие из 8 полож. единиц, да еще из 5 полож. единиц, получим число, состоящее из 13 полож. единиц.
Итак, + 8 + 5 = 13
Здесь надо сложить число, состоящее из 6 отрицат. единиц с числом, состоящим из 9 отрицат. единиц, получим 15 отрицат. единиц (сравнить: 6 рублей проигрыша и 9 руб. проигрыша – составят 15 руб. проигрыша). Итак,
– 6 – 9 = – 15.
4 рубля выигрыша да затем 4 руб. проигрыша, в общем, дадут нуль (взаимно уничтожается); также, если точка продвинулась от A сначала вправо на 4 дм., а потом влево на 4 дм., то она окажется опять в точке A и, след., окончательное ее расстояние от A равно нулю, и вообще мы должны считать, что 4 полож. единицы, да еще 4 отрицательных единицы, в общем, дадут нуль, или взаимно уничтожатся. Итак,
4 – 4 = 0, также – 6 + 6 = 0 и т. д.
Два относительных числа, имеющие одинаковую абсолютную величину, но различные знаки, взаимно уничтожаются.
6 отрицат. единиц уничтожатся с 6 положит. единицами, да еще останется 3 полож. единицы. Итак,
– 6 + 9 = + 3.
7 полож. единиц уничтожатся с 7 отрицат. единицами, да еще останется 4 отрицат. единицы. Итак,
7 – 11 = – 4.
Рассматривая 1), 2), 4) и 5) случаи, имеем
8 + 5 = + 13; – 6 – 9 = – 15; – 6 + 9 = + 3 и
+ 7 – 11 = – 4.
Отсюда видим, что надо различать два случая сложения алгебраических чисел: случай, когда слагаемые имеют одинаковые знаки (1-й и 2-й) и случай сложения чисел с разными знаками (4-й и 5-й).
Не трудно теперь увидать, что
при сложении чисел с одинаковыми знаками следует сложить их абсолютные величины и написать их общий знак, а при сложении двух чисел с разными знаками надо вычесть арифметически их абсолютные величины (из большей меньшую) и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Пусть требуется найти сумму
6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.
Мы можем сначала сложить все положительные числа + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, потом все отрицат. – 7 – 3 – 4 – 8 = – 22 и затем полученные результаты между собою + 27 – 22 = + 5.
Можем также воспользоваться здесь тем, что числа + 5 – 4 – 8 + 7 взаимно уничтожаются и тогда остается сложить лишь числа + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5.
Можно каждое слагаемое заключать в скобки и между скобками написать знак сложения. Напр.:
(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11) и т. п.
Мы можем, согласно предыдущему, сразу написать сумму, напр. (–4) + (+5) = +1 (случай сложения чисел с разными знаками: надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и написать знак того числа, у которого абсолютная величина больше), но можем также переписать сначала то же самое без скобок, пользуясь нашим условием, что если числа написаны рядом с их знаками, то эти числа надо сложить; след.,
чтобы раскрыть скобки при сложении положительных и отрицательных чисел, надо слагаемые написать рядом с их знаками (знак сложения и скобки опустить).
Напр.: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (– 3) + (– 8) = – 3 – 8; (+ 7) + (– 11) = + 7 – 11; (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5; (– 3) + (+ 5) + (– 7) + (+ 9) + (– 11) = – 3 + 5 – 7 + 9 – 11.
После этого можно полученные числа сложить.
В курсе алгебры следует обратить особенное внимание на уменье раскрывать скобки.
Упражнения.
1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);
