Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.
В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.
Примеры .
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.
Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:
Получили несократимые дроби.
Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.
Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:
Все полученные числа являются несократимыми дробями.
Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:
Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:
Полученную дробь еще можем сократить на 3:
Эта дробь — несократимая.
Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.
Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.
На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.
Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:
15 → 5 * 3 35 → 5 * 7Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 - тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .
15x – 5 = 5 * (3x – 1)
Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение - в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:
(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:
(x+2) (x-3) → (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)
Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:
9x-3 15x+6Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:
3(3x-1) 15x+6Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:
3(3x-1) 3(5x+2)Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.
3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок - в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:
(3x-1) (5x+2)Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.
4(x+2)(x-13) (4x+8)Ответ: (x=13)
2x 2 -x 5xОтвет: (2x-1)/5
Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:
3(x-4) 5(4-x)Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x - 4) можно записать как -1 * (4 - x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.
-1 * 3(4-x) 5(4-x)Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):
-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов - это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 - b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части - сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:
A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)
Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.
На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Представьте себе такую ситуацию.
За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) яблока.
А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\)
При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по \(\mathbf{\frac{10}{6}}\)
Но это одно и то же.
\(\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}\)
Эти дроби эквивалентны.
Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.
В математике это формулируется так:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной .
Это свойство иногда называют «основным свойством дроби ».
$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$
Например, Путь от города до деревни- 14 км.
Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли \(\mathbf{\frac{6}{14}}\) пути.
Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- \(\mathbf{6\cdot40 = 240}\) столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- \(\mathbf{\frac{240}{560}}\)
\(\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}\)
Пример 1
Отметьте точку с координатами (5; 7 ) на координатной плоскости XО Y . Она будет соответствовать дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)
Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?
Решение
Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X . Проведем прямую из начала координат через нашу точку.
На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби \(\mathbf{\frac{10}{14}}\)
Они являются эквивалентными: \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}\)
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Задача. Решите уравнение:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
