Недаром говорят, что математика - мать всех наук, так как она построена на вычислениях. Но напрасно ее считают “скучной”, так как, несмотря сложность а может, и благодаря ей это очень интересная наука. Многие известные ученые внесли большой вклад в ее развитие, благодаря чему вошли в историю. В настоящее время молодое поколение имеет возможность узнать об этих великих людях много нужной и полезной информации. В статье пойдет речь о знаменитой на весь мир писательнице и талантливом математике Елене Сергеевне Вентцель.
Родилась и выросла Елена Вентцель в Таллине. Родители были образованными людьми, мать преподавала словесность, отец - математику. Он мечтал, чтобы его дети также стали талантливыми математиками, но больше всего к этому оказалась способна Елена. Свои знания он по наследству передал дочери, занимаясь с ней регулярно и помогая изучать эту великую науку.
Когда девушке исполнилось 16 лет, она поступила в Петроградский университет, занимаясь у разных педагогов, которые отмечали ее способности к точным наукам. Елена Сергеевна - выпускница математического университета, где также ее умение и желание учиться были одобрены преподавателями. Она была с детства трудолюбива, не любила “сидеть на месте”, поэтому после окончания учебы женщина работала в инженерной академии, затем - преподавателем. Учась в университете у преподавателя Жуковского, она находила время и на учебу, и на то, чтобы поддержать своих педагогов и однокурсников в любую минуту.
Книга “Теория вероятностей” была написана Еленой для людей, ориентирующихся математикой на уровне университетов, а также для тех, кого интересует теория вероятностей, в частности теория стрельбы. Также эта книга предназначена и для инженеров других специальностей, для которых эта область науки может быть важна тем, что расчеты необходимо применять на практике.
Елена Сергеевна Вентцель занималась написанием и публикацией художественных произведений. Занимала должность члена СП СССР. Скончалась женщина в 2002 году в возрасте 95 лет.
В биографии Вентцель Елены Сергеевны нельзя не упомянуть о ее научных достижениях. Особое внимание стоит уделить публикациям и применению их на практике в школах и других учебных заведениях. Вот некоторые из них:
За труды и достижения Вентцель была присвоена степень доктора наук. Это очень интересная история. Изначально муж Елены был против ее научных исследований, и она переживала, что он будет препятствовать тому, чтобы она защитила диссертацию. Женщина сделала так, чтобы защита ее диссертации совпала с их совместным отпуском. Недолго думая, она взяла билеты и отправилась с мужем на юг. На курорте Елена Сергеевна сказала, что дома остался включенным утюг. Она отправилась домой, из аэропорта поехала прямиком в академию. Защита прошла успешно.
Елена Сергеевна Вентцель была талантливым прозаиком. Литературной деятельностью Вентцель занималась под псевдонимом И. Грекова (от слова “игрек» - математический знак, обозначающий неизвестное, которое нужно найти). Свои книги Елена Сергеевна Вентцель писала с большим энтузиазмом и воодушевлением. Не всегда ее проза была одобрена окружающими, но все же большинство признавали в Елене талантливого прозаика.
Некоторые литературные произведения Елены Сергеевны Вентцель были экранизированы и представлены на суд зрителей.
Немало книг она написала для детей. К слову, эта ее литература интересная и познавательная, легко читается. Много писала о детях Елена Сергеевна Вентцель. Донат - имя одного из персонажей. Отец мальчика был любящим, но слишком строгим, полностью подавлял его личность. И Вентцель как автор осуждала такой подход: даже с лучшими намерениями нельзя "перекраивать" ребенка под себя.
Все, кто читал рассказы и повести Елены, отзываются положительно о ее манере писать, умении доносить до читателя самое главное и необходимое. Елена Сергеевна раскрывала в героях своих пьес их психологию и внутреннее состояние.
Муж Елены Дмитрий Александрович Вентцель также был талантилвым и успешным ученым. Супруг Елены Сергеевны - лауреат Сталинской премии, действительный член Академии артиллерийских наук.
Супруги почти никогда не ругались, не ссорились, оба постоянно были увлечены работой, да и интересов общих было немало. Иногда даже в выходные им приходилось трудиться, но они любили и хорошо знали свое дело.
У супругов трое совместных детей. Двое из них, Татьяна и Александр Вентцели, пошли по стопам родителей: они были педагогами на механико-математическом факультете. Это были талантливые и умные дети, унаследовавшие от родителей дар. О втором сыне, Михаиле, ничего неизвестно. В живых никого из них уже нет.
Вентцель Елена Сергеевна всегда пользовалась уважением на работе и дома. Сотрудники и коллеги ценили ее за умение общаться с людьми, а семья - за доброту и заботу, так как Елена умела сочетать трудовую деятельность с домашними делами. В свою очередь, студенты любили ее за своеобразное умение преподносить учебный материал. Ей удавалось постоянно держать аудиторию в напряжении. Это была математик с большой буквы.
В свое время Елена Вентцель была успешной, занятой женщиной, признанной критиками и простым народом. Что касается литературной деятельности, ее проза была востребована и пользовалась большой популярностью, переводилась на разные языки мира. Читатели из многих городов и стран любят и знают все ее интереснейшие повести, пьесы, рассказы.
В этой женщине гармонично сочеталось умение писать и преподавать точные науки. Некий знакомый Елены сказал про нее однажды: “Елена Вентцель - это необычный и очень яркий человек”. Елена Сергеевна Вентцель прожила жизнь, полную различных свершений, достижений и трудностей, но, несмотря ни на что, ей удалось стать великой личностью, написать множество интересных книг.
В жизни каждого человека в той или иной мере отражается его время. А если это долгая жизнь незаурядной творческой личности, то отражение это становится наиболее ярким и общезначимым. Отдавая долг памяти Е. С. Вентцель, «Независимая газета» 19 апреля 2002 года писала: «Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задачи — вот фирменная марка этого человека».
Елена Сергеевна Вентцель прожила 95 лет. Ее жизнь охватила все существование советской власти и закончилась в начале XXI века. Она родилась 21 марта 1907 года в Ревеле (ныне Таллин) в учительской семье.
Сергей Федорович Долгинцев, отец Елены Сергеевны, преподавал математику в старших классах гимназии. Он был сыном купца первой гильдии, желавшего дать наследнику медицинское образование. Однако, увлекшись математикой, юноша самовольно перешел на физико-математический факультет, за что был лишен материальной поддержки и наследства. К тому же он рано обзавелся семьей. Поэтому его мечтам о научной математической карьере не суждено было сбыться. Но и на педагогическом поприще проявилась его незаурядность. Елена Сергеевна вспоминала: «Педагог он, видимо, был выдающийся. Никто в моей жизни не был таким педагогом — в слабой мере я от него унаследовала эту черту» 1 .
Естественно, что Сергей Федорович хотел, чтобы его дети добились того, от чего ему самому пришлось отказаться, — стали учеными-математиками. В семье росли два сына — Илья и Николай — и дочь Елена. Только она и проявила способности к математике. По словам Елены Сергеевны, уже в семь-восемь лет отец занимался с ней высшей математикой, полагая, что она проще элементарной. Не только математические способности отличали Елену. «Я любила „мальчишеские” игры — ружья, луки, духовые пистолеты. Прицелиться, нажать и попасть! — вот что было моим идеалом», — вспоминает она 2 .
Любовь, интеллигентность и культура сочетались в семье Долгинцевых с трудолюбием и самодисциплиной. Постоянно поддерживался интерес к русскому слову. «В нашей семье традиционным был и интерес к литературе, все мы что-то писали. Писать я начала очень рано, печататься — поздно». Уже в раннем возрасте (в пять-шесть лет, как пишет С. Ицкович 5) Елена Сергеевна начинает свои первые литературные опыты: « так что внешне я была прирожденным математиком. А внутренне я больше тянулась к литературе. Так и сложилась моя дальнейшая
жизнь — между математикой и литературой» 6 .
В 1913 году семья переехала в Петербург. Сергей Федорович получил должность инспектора Первой петербургской гимназии. Семья поселилась в казенной квартире при гимназии. Школьные годы Елены Сергеевны прошли уже в Петрограде. Она училась в одной школе с Дмитрием Шостаковичем, на класс младше. Годы относительно обеспеченной жизни семьи коллежского советника сменились годами «военного коммунизма». «Впрочем, тогда мы не называли его ни „коммунизмом”, ни тем более „военным”, это название потом придумали. Просто было плохо, скудно, голодно…» 7
Окончив в 1923 году школу, поступила на физико-математический факультет Петроградского государственного университета — на математическом курсе из 280 студентов было всего пять девушек. «По образованию — я математик… Это, видимо, было уступкой отцу, которого я любила больше всех на свете» 8 .
О времени своего студенчества Елена Сергеевна вспоминала: «Прошло еще только несколько лет после Революции. Университет — одно из светлейших воспоминаний моей жизни. Все было прекрасно — окружающая нас действительность, новый строй (НЭП), который еще только пробивался сквозь мрак военного коммунизма. Полная наша освобожденность, раскованность. В те времена мы совсем не чувствовали страха. Отсутствие страха — главная черта тех времен. Голод и отсутствие страха» 9 .
Ко времени учебы Елены Сергеевны петербургская математическая школа приобрела мировую известность. Имена П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова 11 навсегда вошли в историю мировой математики. С общественно-политической точки зрения петербургскую математическую школу, по мнению историков математики, отличали «позитивизм, либеральный демократизм и антимонархизм» 12 . Одновременно с Еленой Сергеевной в университете учились многие будущие выдающиеся математики — Исидор Натансон, Дмитрий Фаддеев 13 и ряд других, ставших известными учеными.
В 1929 году Елена Сергеевна получила университетский диплом математика с правом преподавания этого предмета в средней и высшей школе и начала работать в неком «Остехбюро», параллельно ведя занятия в ленинградских учебных заведениях — Техникуме печати и различных вузах. Поддерживавший с ней дружеские отношения А. М. Журавский рекомендовал ее на работу вычислителем в Артиллерийской академии, к Димитрию Александровичу Вентцелю (1898 — 1955). Как оперный Мефистофель, Журавский напутствовал девушку: «Только смотрите не увлекитесь!» Почти то же было сказано и Д. А. Вентцелю. Через несколько месяцев молодые супруги пришли в гости к Андрею Митрофановичу.
Д. А. Вентцель родился в Москве в семье потомственного дворянина, инженера-путейца, строившего Павелецкую железную дорогу. В силу служебных обязанностей отца семья часто меняла место жительства. Д. А. Вентцель учился в немецкой гимназии в Риге, затем в Реформатском училище в Петербурге. В 1916 году он поступил на физико-математический факультет Петроградского университета. В университете Д. А. Вентцель проучился всего один год, был призван на военную службу и направлен в Константиновское артиллерийское училище. После окончания ускоренного курса Константиновского училища Вентцель всоставе артиллерийских войск в чине прапорщика был отправлен на фронт, где находился до 1918 года. Вернувшись из армии в Петроград, Д. А. Вентцель приступил к занятиям, но не в университете, а в Институте путей сообщения, куда он перевелся осенью 1918 года. В Путейском институте он проучился только один год, так как в 1919 году поступил в Артиллерийскую академию РККА в Петрограде, созданную на базе Михайловской артиллерийской академии, которую и окончил в 1922 году по первому разряду. После окончания академии он был оставлен адъюнктом, а затем был назначен старшим преподавателем.
В дальнейшем Димитрий Александрович стал крупнейшим специалистом в теории артиллерийской стрельбы, автором учебников по внешней (1939) и внутренней (1948) баллистике, вице-президентом Академии артиллерийских наук, одним из организаторов факультета авиационного вооружения в Военно-воздушной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского. Он внес также весомый вклад в теорию стрелкового и ракетного оружия, в создание унитарного патрона. Не участвуя официально в атомном проекте, Д. А. Вентцель поставил своему адъюнкту Е. И. Забабахину задачу по определению параметров сходящихся сферических детонационных волн. Как писал Р. С. Саркисян: «Успешное завершение этой работы совпало с процессом разработки в соответствующих организациях ядерного оружия имплозивного типа, и результаты, полученные Е. И. Забабахиным, были сразу же внедрены в практику расчетов этого вида боеприпасов» 19 . Е. И. Забабахин (1917 — 1984), ученик профессора Вентцеля, стал действительным членом Академии наук СССР, лауреатом Ленинской премии, Героем Социалистического Труда.
В течение тридцати трех лет научная и преподавательская деятельность Елены Сергеевны была связана с ВВИА им. Н. Е. Жуковского. Работая в вычислительном бюро, Елена Сергеевна руководила недавними выпускниками школ, делавшими вычисления на арифмометрах. Задачей руководителя было таким образом организовать работу, чтобы вычислители, действуя по простым алгоритмам, могли быстро и достаточно точно рассчитывать заданные величины, и при этом возможные ошибки вычислений (человеческий фактор) не должны были влиять на окончательные результаты.
Одновременно с руководством вычислительным бюро Елена Сергеевна начинает преподавать в академии — с 1939 года ассистентом, с 1940-го — преподавателем. В 1941 году академия была эвакуирована в Свердловск. В тяжелых условиях эвакуации на плечи Е. С. легла забота о муже, троих детях и Ольге Дмитриевне, вывезенной из блокадного Ленинграда (Сергей Федорович умер во время блокады). В этих труднейших обстоятельствах Елена Сергеевна продолжала заниматься научной работой и в 1944 году защитила кандидатскую диссертацию. Из воспоминаний А. А. Раскиной: «Я [рассказывала Е. С.] писала кандидатскую диссертацию во время войны, на кухне, ночью, при свете свечи» 26 .
Но не только наукой и преподаванием жила Е. С. Вентцель.
Во время работы в ВВИА около Елены Сергеевны образовался кружок офицеров и ученых, неравнодушных к острому слову, издавалась стенная газета «РС», что можно было расшифровать как «Разящая Сатира» или «Реактивный Снаряд». В стенгазете публиковались острые карикатуры, дружеские шаржи, стихи и проза сотрудников ВВИА. Рисунки, как правило, принадлежали М. Герштейну, сотруднику академии и талантливому художнику, другу Кукрыниксов. Многие подписи сделаны Еленой Сергеевной. Например, дружеский шарж на Д. А. Вентцеля сопровождался таким четверостишием:
Боец без страха и упрека,
Враг конъюнктуры и покоя,
Он жил и чувствовал широко,
Любил он в жизни все земное
Лишь ближайшие родственники и самые верные друзья знали, что Елена Сергеевна пишет не только для стенгазеты, но и «для внутреннего пользования». Уже в начале шестидесятых друзья читали рассказы «Хозяева жизни», «Под фонарем», роман «Свежо предание». Весной 1961 года была написана повесть «За проходной».
В 1966 году вышел сборник рассказов И. Грековой «Под фонарем», в этом же году ее приняли в Союз писателей. А через год в «Новом мире» была опубликована ее повесть «На испытаниях». Местом действия был хорошо знакомый Е. С. испытательный полигон, а прототипами ряда персонажей — очень дорогие Елене Сергеевне люди (Д. А. Вентцель — Сиверс, В. Б. Соколовский — Скворцов…). Написана повесть со всем блеском русского реализма. Читателей она захватила, особенно тех, кто был знаком с военным бытом начала пятидесятых. Однако какому-то по сей день неизвестному высокопоставленному чиновнику, скорее всего от идеологии, повесть не понравилась. Где-то кем-то было сказано «ату!», и началась заведенная еще со сталинских времен проработочная истерия («Огонек», «Литературная газета», «Красная звезда», «Русская речь», «Молодая гвардия» — в общей сложности «более 20 ругательных статей», как подсчитала сама Елена Сергеевна). Это были разгромные рецензии с обвинениями в идейной порочности, художественной слабости, в клевете на вооруженные силы и даже на русский народ (вероятно, подлинная фамилия автора ввела «критиков» в традиционный соблазн).
Елена Сергеевна Вентцель была вызвана «на ковер» к заместителю начальника академии по политической части. Хозяин кабинета заявил: «Я хочу поговорить с вами не как генерал и заместитель начальника академии с преподавателем, а как читатель с писателем». Елена Сергеевна в привычном лекторском темпе, «под конспект», медленно и раздельно, ответила: «Первый раз в жизни меня вызвали к читателю», на что генерал проницательно заметил: «Видно, разговор у нас не получится».
Елене Сергеевне пришлось пережить еще один болезненный удар. Вместе с Александром Галичем она написала пьесу «Будни и праздники» по мотивам повести «За проходной». Пьесу поставил МХАТ, и спектакль шел с большим успехом. Однако через полгода пьесу запретили. На этот раз партийное руководство было недовольно некоторыми песнями Галича. Позднее Е. С. Вентцель писала: «И мне жаль этот убитый спектакль, как живого человека» 40 .
Впоследствии Галича исключили из ССП. Будучи сама в опале, Елена Сергеевна пыталась ходатайствовать за Галича перед секретарем Союза писателей генералом КГБ Ильиным. В конце концов А. Галича выслали из СССР. А. А. Раскина так описывает эти события: «Когда Галич уезжал, Е. С. воспринимала это очень тяжело. Пошла прощаться к ним домой и, вернувшись, упала в обморок: мы с Сашей еле успели ее подхватить.
Естественно, Елена Сергеевна не бросала занятий наукой. В миитовский период она опубликовала ряд работ по применению математических методов в управлении железнодорожным транспортом. Совместно с Л. А. Овчаровым она подготовила два новых учебника по теории вероятностей и случайным процессам, а также ныне чрезвычайно популярный задачник по теории вероятностей. Эти учебные пособия также были переведены на многие языки и изданы миллионными тиражами в нашей стране и за рубежом. В эти же годы была написана и опубликована уже упомянутая прекрасная монография «Исследование операций».
Е. С. Вентцель организовала Студенческое консультационное бюро (СКБ). Научные работники и аспиранты инженерных кафедр приходили консультироваться по вопросам математического моделирования технических процессов и устройств. Студенты-математики получали ценнейшие навыки прикладных исследований, а инженеры — реальную помощь в решении своих задач.
Будучи прекрасным лектором, Елена Сергеевна тем не менее считала, что основой высшего образования является индивидуальная работа преподавателя со студентом во время руководства курсовым и дипломным проектированием или путем привлечения студентов к научной работе кафедры. Многие из тех, кому в студенческие годы посчастливилось работать под руководством Е. С. Вентцель, стали авторами серьезных научных трудов.
Елена Сергеевна Вентцель уволилась по собственному желанию из МИИТа в 1982 году. На заявлении об увольнении стоит виза заведующего кафедрой профессора Л. Е. Садовского: «Согласен. Но крайне сожалею».
Те, кому посчастливилось в эти годы общаться с Еленой Сергеевной, навсегда сохранят в памяти ее огромное обаяние, безупречную и бескомпромиссную порядочность, удивительную работоспособность, глубокую эрудицию, педагогическое мастерство, широту кругозора и тонкий юмор. Елену Сергеевну помнят в МИИТе — и те, кто с ней работал, и те, кто у нее учился, и те, кто читал ее книги. В МИИТе учреждена именная стипендия имени Е. С. Вентцель.
После ухода с работы Елена Сергеевна почти целиком посвятила себя литературе и публицистике. Был написан роман «Пороги», повести «Фазан» и «Перелом», изданы пять сборников произведений И. Грековой, напечатаны большие публицистические статьи в «Литературной газете», «Московских новостях», «Литературном обозрении» и других изданиях.
В письме к Л. С. Левитан и Л. М. Цилевичу о своих трудностях с публикациями Елена Сергеевна рассказывала так: «Последние полтора года я пытаюсь напечатать новую свою повесть под названием „Вдовий пароход” — и безуспешно. Несколько журналов совсем было ее „взяли”, но, как только заходила речь о „переработке”, я говорила „этого я не могу”, брала под мышку свое детище и уходила, даже с чувством облегчения — слава Богу, не придется резать, кромсать по живому. Конечно, если бы я жила на литературные гонорары, я была бы сговорчивее…» 43 Действительно, для Елены Сергеевны литературные занятия не были единственным источником существования, предметом карьеры и самоутверждения в конкурентной среде. Это доставляло ее художественному творчеству ту «тайную свободу», о которой говорил Блок.
На склоне лет она писала: «Теперь я благодарю Бога за то, что он уберег меня от литературы… Там, как и в любой гуманитарной науке того времени, необходимо было „лгать” в той или в другой форме. А нам, математикам, „жить не по лжи” давалось просто. Пробраться через частокол формул было настолько трудно, что никто (кроме самых бездарных) не профанировал науку.
Елене Сергеевне было присуще какое-то органическое чутье истинности. В годы перестроечной эйфории она предупреждала: «Непродолжителен был этот нэп, промелькнул — и нет его. У нас принято часто вспоминать то время. Логика простая: „Если было возможно тогда, почему невозможно теперь?” Нет, история себя не повторяет. За 72 года нашей полной безнравственности успел сформироваться тип бесстыдного хапуги, не стесненного ну никакой нравственностью. В начале 20-х годов облик бесстыжего „жлоба” еще не приобрел таких страшных черт, которые есть у него теперь» 45 . Это было написано в 1989 году.
В художественном творчестве и во всем облике Е. С. Вентцель поражала удивительная гармония традиционности и приятия всего лучшего (или необходимого) в современности. Само присутствие Елены Сергеевны укрепляло связь времен и вселяло надежду на сохранение лучших начал российской ментальности. «Имейте в виду, я никогда никуда не поеду. Здесь мои корни, и здесь я и умру», — говорила своим близким Елена Сергеевна.
Обычно толчком к созданию ее произведений были реальные события и человеческие судьбы. Но ситуации, описанные И. Грековой, настолько жизненны и типичны, что многим кажется — именно в его городе, среди его знакомых произошла эта история. Часто сотрудники разных организаций с жаром доказывали, что именно у них работают прототипы и именно у них имели место описываемые события.
…Ее уход из жизни был медленным и постепенным, как закат солнца на севере. Елена Сергеевна скончалась 15 апреля 2002 года. Чем дальше от нас эта печальная дата, тем реже вспоминаются ее последние годы и тем ярче она видится во времена расцвета сил и талантов, видится такой, какой запомнилась Калерии Озеровой:
«На банкете она была посажена за „главный” стол, рядом с Твардовским. И вот передо мной стоит эта картинка: бок о бок с большим, крупным Александром Трифоновичем сидит невысокая, красивая, хорошо одетая женщина, совсем не ассоциирующаяся с образом ученой дамы, этакого сухаря в юбке. Твардовский, наклонившись, что-то говорит ей, а она, отвечая, смотрит на него и вокруг блестящими, сияющими глазами и улыбается своей замечательной улыбкой…»
Название: Теория вероятностей. 1969.
Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объеме обычного ВТУЗовского курса и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей, в частности теорией стрельбы. Книга представляет также интерес для инженеров других специальностей, которым приходится применять теорию вероятностей в их практической деятельности.
От других учебников, предназначенных для той же категории читателей, книга отличается большим вниманием к важным для приложений новым ветвям теории вероятностей (например, теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».
При научном исследовании различных физических в технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию 9
Глава 1. Введение 11
1.1. Предмет теории вероятностей 11
1.2. Краткие исторические сведения 17
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 23
2.1. Событие. Вероятность события 23
2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 24
2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 28
2.4. Случайная величина 32
2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности 34
Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 37
3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 37
3.2. Теорема сложения вероятностей 40
3.3. Теорема умножения вероятностей 45
3.4. Формула полной вероятности 54
3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) 56
Глава 4. Повторение опытов 59
4.1. Частная теорема о повторении опытов 59
4.2. Общая теорема о повторении опытов 61
Глава 5. Случайные величины н их законы распределения 67
5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 67
5.2. Функция распределения 72
5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 78
5.4. Плотность распределения 80
5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 84
5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 85
5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 92
5.8. Закон равномерной плотности 103
5.9. Закон Пуассона. 106
Глава 6. Нормальный закон распределения 115
6.1. Нормальный закон и его параметры 116
6.2. Моменты нормального распределения 120
6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 122
6.4. Вероятное (срединное) отклонение 127
Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 131
7.1. Основные задачи математической статистики 131
7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 133
7.3. Статистический ряд. Гистограмма 133
7.4. Числовые характеристики статистического распределения 139
7.5. Выравнивание статистических рядов 143
7.6. Критерии согласия 149
Глава 8. Системы случайных величин 159
8.1. Понятие о системе случайных величин 159
8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 163
8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 163
8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 163
8.5. Зависимые и независимые случайные величины 171
8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величии. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 175
8.7. Система произвольного числа случайных величин 182
8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин 184
Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин 188
9.1. Нормальный закон на плоскости 188
9.2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 193
9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 196
9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 198
9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 202
9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин 205
Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 210
10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 210
10.2. Теоремы о числовых характеристиках 219
10.3. Применения теорем о числовых характеристиках 230
Глава 11. Линеаризация функций 252
11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 252
11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 253
11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов 255
11.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризации 259
Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 263
12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 643
12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 266
12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 267
12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 269
12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения 271
12.6. Композиция нормальных законов 275
12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 279
12.8. Композиция нормальных законов на плоскости 280
Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 286
13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 286
13.2. Неравенство Чебышева 28713.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 290
13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 292
13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 295
13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 297
13.7. Характеристические функции 299
13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 302
13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении 306
Глава 14. Обработка опытов 312
14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения 312
14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 314
14.3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 317
14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 324
14.5. Оценка вероятности по частоте 330
14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 339
14.7. Обработка стрельб 347
14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 351
Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 370
15.1. Понятие о случайной функции 370
15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 374
15.3. Характеристики случайных функций 377
15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 383
15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 385
15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 388
15.7. Линейные преобразования случайных функций 393
15.8. Сложение случайных функций 39Э
15.9. Комплексные случайные функции 402
Глава 16. Канонические разложения случайных функций 405
16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 406
16.2. Каноническое разложение случайной функции 410
16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями 411
Глава 17. Стационарные случайные функции 419
17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 419
17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 427
17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 431
17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 438
17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 447
17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 454
17.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций 457
17.8. Определение характеристик эртодическои стационарной случайной функции по одной реализации 462
Глава 18. Основные понятия теории информации 468
18.1. Предмет и задачи, теории информации 468
18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 469
18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропии 475
15.1. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 477
18.1. Энтропия н информация 481
18.2. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 489
18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 493
18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона - Фэно 502
18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами 509
Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 515
19.1. Предмет теории массового обслуживания 515
19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 517
19.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства 520
19.4. Нестационарный пуассоновский поток 527
19. 5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 529
16. 6. Время обслуживания 534
19. 7. Марковский случайный процесс 537
19. 8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 540
19. 9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 544
19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 548
19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди 557
Приложение. Таблицы 561
Литература 573
Предметный указатель 574
Лит. псевдоним: И. Грекова
В жизни каждого человека в той или иной мере отражается его время. А если это долгая жизнь незаурядной творческой личности, то отражение это становится наиболее ярким и общезначимым. Отдавая долг памяти Е. С. Вентцель, «Независимая газета» 19 апреля 2002 года писала: «Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задачи - вот фирменная марка этого человека».
Елена Сергеевна Вентцель прожила 95 лет. Ее жизнь охватила все существование советской власти и закончилась в начале XXI века. Она родилась 21 марта 1907 года в Ревеле (ныне Таллин) в учительской семье.
Окончив в 1923 году школу, поступила на физико-математический факультет Петроградского государственного университета - на математическом курсе из 280 студентов было всего пять девушек.
В течение тридцати трех лет научная и преподавательская деятельность Елены Сергеевны была связана с ВВИА им. Н. Е. Жуковского. Работая в вычислительном бюро, Елена Сергеевна руководила недавними выпускниками школ, делавшими вычисления на арифмометрах. Задачей руководителя было таким образом организовать работу, чтобы вычислители, действуя по простым алгоритмам, могли быстро и достаточно точно рассчитывать заданные величины, и при этом возможные ошибки вычислений (человеческий фактор) не должны были влиять на окончательные результаты.
Одновременно с руководством вычислительным бюро Елена Сергеевна начинает преподавать в академии - с 1939 года ассистентом, с 1940-го - преподавателем. В 1941 году академия была эвакуирована в Свердловск. В тяжелых условиях эвакуации на плечи Е. С. легла забота о муже, троих детях и Ольге Дмитриевне, вывезенной из блокадного Ленинграда (Сергей Федорович умер во время блокады). В этих труднейших обстоятельствах Елена Сергеевна продолжала заниматься научной работой и в 1944 году защитила кандидатскую диссертацию.
В первый период исследовательской деятельности научные интересы Е. С. Вентцель были сосредоточены на применении вероятностных методов в целях повышения точности воздушной стрельбы и бомбометания, а также совершенствования способов пристрелки авиационного вооружения.
В послевоенные годы научная работа Елены Сергеевны была связана с объективной оценкой эффективности различных видов вооружения, боеприпасов и способов организации огневых средств при стрельбе по летящим объектам. При этом возникали две проблемы - организация испытаний и обработка результатов испытаний. По предложению академика А. Н. Колмогорова за критерий эффективности ПВО была взята вероятность поражения воздушной цели, вычисляемая с помощью распределения вероятностей точек разрыва снаряда в окрестности цели и условных вероятностей уничтожения цели, зависящих от точки, в которой произойдет этот разрыв. Е. С. Вентцель входила в группу военных специалистов, организованную Евгением Васильевичем Золотовым (в повести «За проходной» он послужил прототипом Мегатонны) для практической реализации подхода Колмогорова. Эта работа потребовала многомесячных выездов на полигоны и кропотливых, а порой и небезопасных экспериментов. Елена Сергеевна лично участвовала в таких испытаниях, и она, единственная женщина среди множества мужчин-офицеров, не терялась в самых сложных ситуациях и при этом еще всегда была женственна и элегантна. «Я всю жизнь жила под давлением одной и той же мысли: „Не быть хуже мужчин! Не отстать от них, чего бы это не стоило!” Эта идея не помешала мне вовремя выйти замуж, родить троих детей, но все это было как бы аккомпанементом к моей подлинной жизни. Она была - в „Деле”, как я его теперь понимаю. Быть в жизни равной с мужчинами, кое в чем даже превосходить их - вот что было моим флагом, девизом моей юности, зрелости, отчасти поздних лет».
Большой отклик в инженерной среде нашли работы Е. С. Вентцель по исследованию операций, особенно книга «Исследование операций» (1972), суммирующая цикл работ по линейной оптимизации, динамическому программированию, теории игр, теории массового обслуживания и смежным вопросам.
После выхода в свет первого издания «Теории вероятностей» в ВВИА потянулся поток инженеров для консультаций по приложениям теории вероятностей в конкретных инженерных задачах. Желающих проконсультироваться было так много, что коллеги Елены Сергеевны не в шутку задумывались о введении дополнительной ставки преподавателя-консультанта для работы с инженерами.
Общее мнение инженерно-технической общественности прекрасно выражено в частном письме военно-морского инженера Н. В. Лапцевича: «Не хочу никого обижать, но ее учебники по теории вероятностей и исследованию операций воспринимались мной, в ряду других пособий в этих областях, как живые, с богатой кроной деревья среди серого сухостоя. Они принадлежат к тем, к сожалению, очень редким шедеврам, прорабатывая которые испытываешь не натужные усилия вникнуть в смысл прочитанного, а радость узнавания и чувство благодарности автору… Именно Елене Сергеевне я обязан тем, пусть немногим, чем я владею в этих областях».
Елена Сергеевна Вентцель (литературный псевдоним И. Грекова), урождённая Долгинцева; (8 (21) марта 1907, Ревель, Российская империя, ныне Таллин, Эстония - 15 апреля 2002, Москва, Россия) - советский математик, автор учебников по теории вероятностей и исследованию операций, русский прозаик, доктор технических наук, профессор.
Работала в Московской Академии им. Жуковского (1935-1968 г.г.), затем - на кафедре прикладной математики в Московском Институте Инженеров Транспорта (1968-1987), вела научную и преподавательскую работу. Несколько поколений советских инженеров учились по ее учебнику «Теория вероятностей». Она - автор книг «Исследование операций» и «Теория игр». Была также превосходным популяризатором науки: в публичных лекциях, статьях, выступлениях.
Читателям Елена Сергеевна известна под литературным псевдонимом И.Грекова. Публиковаться начала в начале 1960-х в журнале «Новый мир», которым в то время руководил А.Т.Твардовский. Именно там вышли ее ставшие знаменитыми повести и рассказы «За проходной» (1962), «Дамский мастер» (1963), «На испытаниях» (1967). По литературным произведениям И.Грековой были поставлены спектакли и фильмы.
Хозяйка гостиницы
Волнующее повествование о простой светлой русской женщине, одной из тех, на которых держится мир. Прожив непростую жизнь, героиня всегда верила во всепобеждающую силу любви и сама, словно светясь добротой, верой, надеждой, не задумываясь, всю себя отдавала людям. Большая любовь как заслуженная награда пришла к Верочке Ларичевой тогда, когда она уж и надеяться перестала…
Эта книга - литературная основа фильма С. Говорухина «Благословите женщину».
Введение в исследование операций
В книге излагаются основы науки исследования операций, занимающейся способами рациональной организации целенаправленной человеческой деятельности. Изложение предмета ведется в основном на материале задач, связанных с боевым применением техники.
Однако математические методы обоснования рациональных решений излагаются так, что могут быть приложены в любой области практики.
Задачи и упражнения по теории вероятностей
Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.
Исследование операций: задачи, принципы, методология
Популярно излагаются основы исследования операций - науки о выборе разумных, научно обоснованных решений во всех областях человеческой деятельности.
Главное внимание уделяется не математическому аппарату, а вопросам методологии. Для инженеров, научных работников, руководителей предприятий, интересующихся проблемами выбора решений.
Прикладные задачи теории вероятностей
Содержится большое число задач прикладного характера, относящихся к разным областям практики, главным образом инженерно-техническим.
В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Большинство задач снабжено не только ответами, но и развернутыми решениями, демонстрирующими важные методические приемы. Для инженерно-технических работников, а также студентов и преподавателей вузов, заинтересованных в овладении вероятностными методами решения прикладных задач.
Теория вероятностей
Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.
Теория вероятностей и ее инженерные приложения
В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т.д.
Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой.
Теория случайных процессов и её инженерные приложения
В книге дается систематическое изложение основ теории случайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная математика, автоматизированные системы управления и переработки информации, автоматизация технологических процессов, транспорт и т.п.
Она является логическим продолжением книги тех же авторов: «Теория вероятностей и ее инженерные приложения».
Элементы теории игр
Книга представляет собой популярное изложение элементов теории игр и некоторых способов решения матричных игр.
Она почти не содержит доказательств и иллюстрирует основные положения теории примерами. Для чтения достаточно знакомства с элементами теории вероятностей и математического анализа.
Ягунов Е А
/ 19.11.2016
С Еленой Сергеевной меня познакомилп профессор, инженер-полковник Шор Яков Борисович, когда я в 1959 г. работал над своей кандидатской диссертацией.
Используя достаточно сложный математический аппарат. Она не только проконсультировала меня, но и пригласила на свои лекции в ее Академии. Я их прослушал и сразу понял, доселе сложные для меня вопросы. Ее книги по теории вероятности стали моими настольными. Это шедевр понятного и доступного изложения трудных для понимания знаний!
А ее проникновенная книга "Кафедра" , когда я, после окончания службы в НИИ-4 МО стал преподавателем университета.
Советую всем, кто изучает "Теорию вероятности и Теорию случайных функций" изучать ее по учебникам Вентцел Е. С. Всем гуманитариям прочитать ее художественную прозу. Поверьте, они этого стоят!
Сергей / 13.09.2013 Прекрасный учебник даже для таких тупиц, как я!!! Двоечник был, но теорию вероятности изучал по Вентцель-не поверите, пять баллов в военно-морском училище было по этому предмету. Прекрасный учебник!!!
Добрый Ух / 6.01.2011 Николай, я не знаю, кто делал скан, но называть человека "придурком" на том основании, что он где-то потерял страницы как минимум не вежливо. Вам книги в цифре достаются фактически бесплатно и я бы поблагодарил администрацию за то, что они хоть в каком-то виде тут появляются. Вряд ли ваше "фи" достойно того, чтобы держать оргштатную единицу, которая будет вычитывать все книги. Вы просто зажрались, уважаемый. %) Скажите лучше простое человеческое спасибо тем, кто сканирует книги и держит этот сайт.
Nikolay / 5.01.2011 Автору, конечно, огромное спасибо за такую книгу. Но придурку, который делал электронный вариант, надо оторвать руки за недостающие страницы. И администрации сайта не мешало бы проверять материалы, которые они публикуют.
Галущенко В.А.
/ 21.09.2010
Книга, посвященная автору
http://zhurnal.lib.ru/editors/g/galushenko_w/umnica.shtml
Татьяна / 28.06.2010 Очень полезная книга...
Ярик / 4.12.2009 Очень понравилась книга!
Александр / 15.03.2009 Чудесная женщина, великий математик, изумительный педагог доступно излагающий сложнейший материал для дилетантов!
Turtuga / 12.02.2009 Такой замечательный классический учебник, очень жаль, что в электронной версии на сайте не хватает страниц 37-40. Как раз понадобились.
***Вовочка*** / 27.11.2008 "Побольше бы таких людей"
Н.Тёмкин / 13.11.2008 Считаю книгу Е.С.Вентцель "Теория вероятностей" лучшей книгой в этой области.Она сочетает в себе фундаментальность и в то же время достуность изложения для массового читателя.А такой способ подачи материала есть свидетельство высочайшей компетентности автора.
