Наибольшее и наименьшее значения функции
понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у
= x
, заданная на отрезке , достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x
= 1 и x
= 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x 0
всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x 0
, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x 0
. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. См. также Экстремум .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Большой Энциклопедический словарь
Понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего)… … Энциклопедический словарь
Понятия матем. анализа. Значение, принимаемое функцией в пек рой точке множества, па к ром эта функция задана, наз. наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения … Естествознание. Энциклопедический словарь
МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Большая политехническая энциклопедия
Наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… … Математическая энциклопедия
Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа, где троичное множество, а неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества цифровые… … Википедия
Представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз.… … Математическая энциклопедия
Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 … Большая советская энциклопедия
- (лат. maximum и minimum, буквально наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … … Энциклопедический словарь
- (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума … Современная энциклопедия
Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
Уточним терминологию:
Абсцисса
- это координата точки по горизонтали.
Ордината
- координата по вертикали.
Ось абсцисс
- горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
- вертикальная ось, или ось .
Аргумент
- независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
Область определения
функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .
На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .
Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает
Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
Определим, что такое точки максимума и минимума функции .
Точка максимума
- это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке - точка максимума.
Точка минимума
- внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке - точка минимума.
Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и .
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой) . На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д. , но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными) ; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые
) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:
Эту же область можно задать и линейными неравенствами
: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой
.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие
.
А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность , и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса , непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках , принадлежащих области D , либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
Пример 1
В ограниченной замкнутой области
Решение
: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:
Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных
:
Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже) , а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:
– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума . Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума , то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах ) .
Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.
II) Исследуем границу области.
Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:
Как вариант, можно оформить и так:
Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением )
«высекает» из поверхности
«пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится
:
– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже)
функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:
Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках 
(отмечаем на чертеже)
:
Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :
2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:
Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.
Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:
– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :
Исследуем второй конец отрезка :
Используя функцию 
, выполним контрольную проверку:
3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:
Концы отрезка 
уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию 
:
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.
Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :
– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :
Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии 
:
, порядок.
И заключительный шаг
: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:
из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ
запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
:
На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .
В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка .
Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .
Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них , которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще) . Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, 
и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
Пример 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 
.
Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде: 
Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)
Решение
, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:
Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
I) Найдём стационарные точки:
Система-мечта идиота:)
Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.
А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
1) Если , то
Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :
Контроль:
Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:
Решаем квадратное уравнение
, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:
Вычислим значения функции в найденных точках:
Проверку по функции проведите самостоятельно.
Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ
:
Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
Для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области 
Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа , но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение
: изобразим область на чертеже:
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| ${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
| $√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})"=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y"=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y"(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ - это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
