Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.
Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.
Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:
2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 - взаимно простые. Поэтому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.
Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:
Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них - это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:
24 · 1 = 24 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 2 = 48 - делится на 3, но не делится на 18.
24 · 3 = 72 - делится на 3 и на 18.
Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.
Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.
НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.
Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8) = 24.
Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:
Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа - 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:
Делим произведение на их НОД:
Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.
Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК - это одно из основных, особенно часто применяемое в Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.
Общее кратное - число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.
НОК - это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.
Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.
Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.
Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК - обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:
Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Первый этап завершен.
Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК - это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.
Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) НОК = 6300.
Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.
Проверка:
6300 / 300 = 21 - верно;
6300 / 1260 = 5 - верно.
Правильность полученного результата определяется посредством проверки - деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.
Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта - не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве - трем, пяти и так далее. Чем больше чисел - тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.
Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, - для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.
Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.
Проверка:
1) 3000 / 250 = 12 - верно;
2) 3000 / 600 = 5 - верно;
3) 3000 / 1500 = 2 - верно.
Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.
В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.
Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:
1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.
2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.
3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.
Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми
.
Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем
данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
Определение.
Наименьшим общим кратным (НОК)
натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a, и b.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное
нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э.
Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше,
в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например :
Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .
НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.
Коммутативность:
Ассоциативность:
В частности, если и — взаимно-простые числа , то:
Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).
Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.
Так, функция Чебышёва . А также:
Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .
Что следует из закона распределения простых чисел.
НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:
1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).
Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:
Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Пример :
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:
Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
— разложить числа на простые множители;
— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.
Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.
Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .
Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.
Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.
Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.
Еще один вариант:
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:
НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.
Как найти наименьшее общее кратное?
Нужно найти каждый множитель каждого из двух чисел, у которых находим наименьшее общее кратное, а потом перемножить друг на друга множители, которые совпали у первого и второго числа. Результатом произведения будет искомое кратное.
Например у нас есть числа 3 и 5 и нам надо найти НОК(наименьшее общее кратное). Нам надо умножать и тройку и пятрку на все числа начиная с 1 2 3 ... и т д пока мы не увидим одинаковое число и там и там.
Множим тройку и получаем: 3, 6, 9, 12, 15
Множим пятрку и получаем: 5, 10, 15
Метод разложения на простые множители - самый классический для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) для нескольких чисел. Наглядно и просто продемонстрирован этот метод в следующем видеоролике:
Складывать, умножать, делить, приводить к общему знаменателю и другие арифметические действия очень увлекательное занятие, особенно восхищают примеры, занимающие целый лист.
Итак найти общее кратное для двух чисел, которое будет являться самым маленьким числом на которое делятся два числа. Хочу заметить, что не обязательно в дальнейшем прибегать к формулам, чтобы найти искомое, если можешь считать в уме (а это можно натренировать), то цифры сами всплывают в голове и потом дроби щелкаются как орешки.
Для начала усвоим, что можно умножить два числа друг на друга, а потом эту цифру уменьшать и делить поочередно на данные два числа, так мы найдем наименьшее кратное.
Например, два числа 15 и 6. Умножаем и получаем 90. Это явно больше число. Причем 15 делится на 3 и 6 делится на 3, значит 90 тоже делим на 3. Получаем 30. Пробуем 30 разделить 15 равно 2. И 30 делим 6 равно 5. Так как 2 это предел, то получается, что наименьшее кратное для чисел 15 и 6 будет 30.
С цифрами побольше будет немного трудней. но если знать, какие цифры дают нулевой остаток при делении или умножении, то трудностей, в принципе, больших нет.
Вот видео, в котором вам будет предложено два способа нахождения наименьшего общего кратного (НОК). Поупражнявшись в использовании первого из предложенных способов, вы сможете лучше понять, что такое наименьшее общее кратное.
Представляю ещ один способ нахождения наименьшего общего кратного. Рассмотрим его на наглядном примере.
Необходимо найти НОК сразу трх чисел: 16, 20 и 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
НОК = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
НОК(16, 20, 28) = 560.
Таким образом, в итоге расчета получилось число 560. Оно является наименьшим общим кратным, то есть делится на каждое из трх чисел без остатка.
Наименьшее общее кратное число - это такая цифра, которая разделится на несколько предложенных чисел без остатка. Для того, чтобы такую цифру высчитать, надо взять каждое число и разложить его на простые множители. Те цифры, которые совпадают, убираем. Оставляет всех по одной, перемножаем их между собой по очереди и получаем искомое - наименьшее общее кратное.
НОК, или наименьшее общее кратное , - это наименьшее натуральное число двух и более чисел, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.
Вот пример того, как найти наименьшее общее кратное 30 и 42.
Для 30 - это 2 х 3 х 5.
Для 42 - это 2 х 3 х 7. Так как 2 и 3 имеются в разложении числа 30, то вычеркиваем их.
В итоге получаем, что НОК чисел 30 и 42 равен 210.
Чтобы найти наименьшее общее кратное , нужно выполнить последовательно несколько простых действий. Рассмотрим это на примере двух чисел: 8 и 12
Проверяя, убеждаемся, что 24 делится и на 8 и на 12, причем это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Вот мы и нашли наименьшее общее кратное .
Попробую объяснить на примере цифр 6 и 8. Наименьшее общее кратное - это число, которое можно разделить на эти числа(в нашем случае 6 и 8) и остатка не будет.
Итак, начинаем умножать сначала 6 на 1, 2, 3 и т. д и 8 на 1, 2, 3 и т. д.
